UTILIZACIÓN DEL ERROR EN UN SENTIDO POSITIVO PARA EL APRENDIZAJE.

INTRODUCCIÓN

Este trabajo tiene por finalidad establecer la importancia de los errores y su utilización en un sentido positivo para el aprendizaje. Considerar el error no como una falta o insuficiencia sino como parte del proceso de aprendizaje ayuda a los alumnos a tomar conciencia de que puede aprender de ellos y a nosotros los docentes, a aprender mucho de los errores de nuestros alumnos. Es cierto que los errores no se corrigen con facilidad pues requiere de un proceso de reflexión que amerita la ayuda del profesor y la voluntad o disposición del alumno mismo para corregirlo.

En el primer capítulo presentamos toda la información recogida acerca del estudio de los errores. Los fundamentos epistemológicos sostienen que la falibilidad del pensamiento humano ha sido una preocupación constante de filósofos y pensadores quienes se han dedicado a estudiar la capacidad del hombre para conocer y comprender, pues en todo proceso de conocimiento está latente la posibilidad de considerar como verdaderos conceptos y procedimientos erróneos. También consideramos estudios realizados en diversas partes del mundo y las diferentes tipologías propuestas a partir de investigaciones realizadas.

En el segundo capítulo presentamos una propuesta de intervención didáctica diseñada desde dos puntos de vista: El preventivo y el Correctivo. En ella a partir de un ejemplo típico de error cometido por alumnos del sexto grado de primaria tratamos de ilustrar la secuencia didáctica que seguiríamos para su corrección.Además hacemos una reflexión acerca de lo que significaría la implementación de nuestra propuesta en el aula.

Si hiciéramos un recuento de los errores que nosotros los maestros cometíamos en la etapa escolar posiblemente serían los mismos que cometen nuestros alumnos actualmente, esto debe llamarnos a todos a una seria reflexión. Espero que la investigación y propuesta presentadas sirvan como punto de referencia para una posible actuación sobre los errores cometidos por nuestros alumnos en el aula.

ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS


FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS

El error es factible en todo proceso de aprendizaje y es uno de los principales problemas en educación Matemática, Rico nos dice al respecto: ”El primer problema lo presenta mediante una cuestión directa y lo caracteriza como cercano a la realidad y más urgente : ¿Por qué Juanito no sabe calcular?. Esta sencilla cuestión lo lleva a plantearse el problema del diagnóstico de las dificultades que encuentran los niños en el aprendizaje de las Matemáticas” (Rico, 2000: 355).
El conocimiento humano es falible es decir unido a la capacidad de conocer está el considerar conceptos o conocimientos equivocados como si fueran verdaderos. Esto no es reciente, a través de la historia el error siempre ha estado presente , por ejemplo muchas veces se han aceptado conocimientos erróneos como válidos.
Muchos filósofos de la Ciencia y Epistemólogos tales como Popper ; Bachelard; Russell y Lakatos se han preocupado por el conocimiento erróneo. Ya Sócrates afirmaba que en la búsqueda del camino a la verdad podemos errar y con frecuencia erramos individual o colectivamente pero que esa misma idea de error y falibilidad implicaría que podamos buscar la verdad mediante la crítica racional y la autocrítica.
Para Popper (1979) (citado por Rico, 1 9 98 ), los errores juegan un rol destacable en la adquisición del conocimiento científico tal es así que las creencias erróneas pueden tener un poder asombroso de supervivencia en oposición a la experiencia.
Bachelard en cambio plantea la noción de obstáculo epistemológico como explicación para esa aparición inevitable del error. En su obra “La Formación del espíritu Científico”
afirma que en el acto mismo de conocer , internamente es donde aparecen por una especie de necesidad funcional los entorpecimientos y confusiones que causan estancamientos y retrocesos en el proceso del conocimiento provienen de una tendencia a la inercia a la que llama obstáculo es decir un conocimiento anterior insuficientemente adquirido que ofrece resistencia, la mayoría de las veces porque se ha fijado en razón de haber resultado eficaz hasta el momento y que al pretenderse usar en otro contexto produce un error Bachelard, (1988) ( citado por Rico, 1998).


ANTECEDENTES EN EL ESTUDIO DE ERRORES

Ya que los errores forman parte de la producción de los alumnos en el aprendizaje de la Matemática, su estudio ha sido una cuestión de permanente interés en la Educación.
Para Radatz (1980) ( citado por Rico, 1 995) existen tres rasgos característicos de los estudios aparecidos a hasta la fecha:
¨ La Aritmética y el conocimiento Numérico constituyen el área de contenidos dominante en la mayor parte de estudios de errores en Matemática escolar.
¨ Mientras que en USA, el estudio teórico ha sido continuo, en Europa ha sido esporádico.
¨ Existe una pluralidad de aproximaciones teóricas y de intentos de explicar acerca de sus causas.

Hagamos un recuento de los estudios realizados en diferentes partes del mundo:

Los trabajos de investigación inicialmente realizados en Estados Unidos han perseguido diversos objetivos, desde la identificación de errores en las cuatro operaciones aritméticas; la identificación de técnicas potencialmente erróneas que son usadas por los estudiantes, el analizar las dificultades en particular las relacionadas a la división y las operaciones con cero, la determinación de técnicas erróneas persistentemente utilizadas hasta su clasificación. Posteriormente el análisis de errores recibió un impulso considerable , el diseño de actividades , el tratamiento metodológico y la organización curricular estuvieron dirigidos a disminuir la frecuencia de errores , tal como la enseñanza por diagnóstico en los trabajos desarrollados por Ashlock(1975), Reisman(1972), Robitaille (1976) y Bell(1986) (citados por Rico, 1998) entre otros.
Para Ginsburg(1977) y Erlwanger (1975) (citados por Rico, 1998). los errores surgen de las estrategias y reglas personales empleadas en la resolución de problemas
En Alemania, los trabajos de investigación tienen una clara influencia de tres escuelas psicológicas psicoanalítica; Gestalt y la Psicológica del Pensamiento.
Weiner (1922) ( citado por Rico, 1998) trata de establecer patrones de errores que explican equivocaciones individuales en todas las materias y grupos de edades escolares, además agrupa a los errores en 5 categorías: familiares, persistentes, por similitud, mixtos y errores por situaciones emocionales. Otros estudios son realizados por Seseman (1931), Kiessling, (1925) y Rose (1928) ( citados por Rico, 1998) quienes toman en cuenta los errores que surgen como fenómenos de leyes formadas mediante incorrectas combinaciones de tendencias, predisposiciones especiales para errar y confusión de conceptos e incapacidad para reconocer rasgos característicos de un problema matemático respectivamente. Ya a partir de los años sesenta, las investigaciones destacan los trabajos de Schlaak(1968), Gluck (1971) y Pippig (1977) (citados por Rico, 1998) , donde se tienen en cuenta errores y dificultades cuando se trabajan problemas aritméticos.
En Unión Soviética a comienzos de los sesenta las investigaciones se orientaron hacia el análisis de los errores de los estudiantes y las dificultades individuales del aprendizaje escolar. Estudios realizados por Kuzmitskaya y Menchinskaya coincidieron en concluir que los errores generalmente se debían a una inadecuada aplicación de algoritmos, una comprensión conceptual cualitativa insuficiente, distracción o falta de interés.
En España la revista Bordón (1953) dedica una considerable reflexión a determinar errores más usuales en aritmética escolar así como a presentar bases para una enseñanza correctiva de los mismos. Por otro lado Centeno (1988)(citado por Rico, 1998) plantea la necesidad de interpretar los errores para orientar el proceso de enseñanza.





INVESTIGACIONES SOBRE ERRORES

La investigación en torno a los errores en el proceso de aprendizaje es actualmente una preocupación relevante de la matemática. Brousseau, Davis y Werner (1986) ( citados por Rico , 1998) expresan claramente esta idea:
“Observaciones hechas en el aula ponen de manifiesto que. Los estudiantes piensan frecuentemente acerca de sus tareas matemáticas de un modo muy original, bastante diferente de lo que esperan sus profesores.
Cuando una vía de pensamiento original se muestra inesperadamente útil, admiramos su poder y decimos que el estudiante ha tenido una comprensión inusual; pero cuando, por el contrario, este modo personal de pensamiento omite algo que es esencial, decimos usualmente que el estudiante ha cometido un error. De hecho, ambos casos tienen mucho en común, en particular el dato de que las ideas en la mente del alumno no son las que el profesor espera”, estos señalan cuatro vías en la que el error puede presentarse: Errores de conceptos fundamentales matemáticos; aplicación de procedimientos imperfectos; utilización de procedimientos imperfectos; métodos propios de los alumnos, no formales pero si altamente originales.
El Dr. Luis Rico (1998) propone cuatro líneas de investigación actual en torno a los errores:
¨ Estudios sobre análisis, causas, elementos y taxonomía de clasificación de los errores.
¨ Trabajos sobre el tratamiento curricular de los errores.
¨ Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad para detectar, analizar, interpretar y tratar los errores de los alumnos.
¨ Trabajos de carácter técnico que incluyen técnicas estadísticas como el contraste de hipótesis para el análisis de errores.

El estudio y análisis de los errores constituyen una importante línea de estudio e
Investigaciones en Matemática con implicancias en el aprendizaje significativo y de
Calidad de los alumnos.



. ANÁLISIS DE LOS ERRORES

El análisis de los errores cometidos por los alumnos durante su aprendizaje nos da una valiosa información de cómo se construyen los aprendizajes en matemática además constituyen una excelente herramienta durante la retroalimentación de los mismos, con la finalidad de mejorar los resultados. Los procesos mentales no son visibles y solo es posible conjeturar su existencia a través de manifestaciones indirectas. Los errores cometidos por los alumnos, la regularidad con la que aparecen, los patrones comunes a los que obedecen son elementos que permiten hacer la inferencia acerca de estos y es justamente la regularidad con la que aparecen la que permite clasificarlos.
Es precisamente el estudio de los errores el que ha permitido encontrar resultados e interpretaciones valiosas para la teoría del Procesamiento de la información. La Combinación de resultados empíricos, algunos supuestos de las estructuras mentales y ciertas leyes generales del procesamiento humano de la información han permitido predecir algunos patrones comunes de error.

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

Muchas veces los errores pueden ser individuales o colectivos, en razón a estas regularidades con las que suelen presentarse es que varios autores han propuesto clasificaciones para ellos. A continuación presentamos algunas caracterizaciones y clasificaciones realizadas por diferentes autores teniendo en cuenta distintos enfoques:
Davis (1984)(citado por Rico, 1998) elaboró una teoría de esquemas o constructos personales que le permitió tipificar algunos errores usuales en el aprendizaje de las matemáticas: Reversiones binarias, errores de lenguaje y notación , errores en la recuperación de esquemas previos y representaciones inadecuadas.
Booth (1984)(citado por Rico) atribuye los errores de los alumnos a la naturaleza y significado de símbolos y letras y al objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en álgebra., la comprensión de conceptos aritméticos., uso inapropiado de fórmulas o reglas de procedimiento.
Rico (1998) destaca que Radatz ofrece una taxonomía para clasificar errores a partir del procesamiento de la información estableciendo categorías generales para este análisis: Errores debido a dificultades de lenguaje, dificultades para obtener información espacial, aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos, por asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento, por aplicación de reglas o estrategias irrelevantes.
El mismo Rico (1998) manifiesta que Mosvshovitz-Hadar, Zaslavsky e invar. hacen una investigación empírica sobre errores: Datos mal usados, Interpretación incorrecta del lenguaje, Inferencias no válidas lógicamente , falta de verificación en la solución, errores técnicos.
Esteley – Villarreal (1990,1992, 1996), realizaron una categorización de errores en los que consideraron: errores al operar números reales, en cálculos, planteo y resolución de ecuaciones, no empleo o uso parcial de la información, no verificación de resultados parciales o totales, empleo incorrecto de propiedades y definiciones, errores de lógica entre otros.
Es interesante que el docente tome como punto de partida los errores de los alumnos, para ello debe realizar un diagnóstico y discutir con sus alumnos a nivel intuitivo acerca de sus concepciones erróneas para luego presentarles situaciones matemáticas que permitan corregirlas.


PROPUESTA DE INTERVENCIÓN DIDÁCTICA

El aprendizaje implica necesariamente rupturas cognitivas, acomodaciones, cambios de modelos, de lenguaje, de sistemas cognitivos. Si se obliga a un alumno a una progresión paso a paso, el mismo principio de adaptación puede contrariar el rechazo, necesario, de un conocimiento inadecuado. Las ideas transitorias resisten y persisten. Esas rupturas pueden ser previstas por el estudio directo de las situaciones Brousseau (1983) (citado por Diaz -Gómez-Gutierrez, 1999).
Un obstáculo es una concepción que inicialmente fue eficiente para el alumno, para resolver algún tipo de problema, pero que falla cuando se aplica a otro, por ese motivo debido a su éxito previo se resiste a ser cambiado o rechazado generando una barrera para aprendizajes posteriores, por eso para superar tales obstáculos es preciso una situación didáctica diseñada para hacer a los alumnos conscientes de las necesidades de cambiar sus concepciones y para ayudarlos a conseguirlo, en este sentido esta constituye una propuesta a implementar en el aula.
Son muchos los errores observados entre los alumnos del nivel primario, sin embargo es preocupante observar errores sistemáticos como los que aparecen producto de la aplicación de las propiedades de la radicación. Ya Esteley – Villareal (19990, 1992, 1996) tipifican estos como errores debido al empleo incorrecto de propiedades de números.
Desde el punto de vista de Godino- Batenero y Font V. 2 004, este error estaría tipificado en el grupo de las dificultades causadas por la secuencia de actividades propuestas y la falta de dominio de los contenidos anteriores, ambas dificultades están muy relacionadas si bien es cierto los contenidos presentados a los alumnos, considerados conocimientos previos, están organizados siguiendo toda una estructura curricular articulada a través de los diferentes grados, la secuencia de actividades programadas por el docente muchas veces no están bien estructuradas.
Un ejemplo de esta tipología de error la constituye la aplicación de propiedades de la radicación como:

“La raíz enésima de un producto indicado de números enteros es igual al producto de las raíces enésimas de los factores”
Un error en alumnos desde el sexto grado de primaria (Ciclo V) hasta alumnos de la secundaria (Ciclo V II), tanto en el desarrollo de la propiedad en números naturales como en otros conjuntos de números , es el siguiente:
A pesar de lo observado , el error se convierte en sistemático y describe más bien la comprensión equivocada de los contenidos cosa que se evidencia en la persistencia del mismo a pesar de las correcciones realizadas.
Considero que el error debe ser enfrentado desde dos puntos de vista:
a) Prevención del error
b) Corrección del error

Acción preventiva del Error

La prevención del error involucra el análisis de la siguiente situación: ¿En qué momento de su educación el alumno se enfrenta con conocimientos similares?
Para identificar todas aquellas situaciones de aprendizaje en las que el alumno se enfrenta con conocimientos pre-requisitos para el aprendizaje de la propiedad, debemos hacer uso del Diseño Curricular de la Educación Básica regular 2006. En el DCN se sostiene que la finalidad de la Educación es la Formación integral de la persona y para contribuir a esta finalidad es necesario articular las propuestas curriculares de los distintos Niveles, en nuestro caso en Matemática, asegurando la coherencia pedagógica y curricular: graduación y secuencia, integralidad y continuidad de los aprendizajes previstos.
Si consideramos ¿Cuáles son los contenidos que los alumnos deben manejar para un adecuado aprendizaje de estas propiedades tenemos: Adición, Multiplicación, Potenciación, Geometría conocimientos básicos , ángulos, polígonos, áreas.
Por lo tanto debe revisarse la Currícula para reconocer desde que grado se da la supuesta articulación de los saberes.
¿Cómo se da la secuencia de saberes? ¿Qué conocimientos nuevos hay en cada grado? El Diseño Curricular Articulado por niveles refiere las siguientes capacidades y actitudes para el logro de las competencias:
a) Tres años: Resuelve situaciones problemáticas que implican aplicaciones sencillas.
b) Cuatro años: Resuelve situaciones problemáticas que implican aplicaciones sencillas: quitar, separar, prestar
c) Cinco años: Resuelve situaciones problemáticas que implican aplicaciones sencillas agregar, reunir, quitar.
d) III Ciclo (Primer y Segundo grado): Se estudia la interpretación de la adición de números naturales con diversos significados: juntar, agregar, avanzar; Relaciones entre objetos de formas geométricas, esto en el primer grado. En el segundo grado se hace la interpretación entre las relaciones que existen entre la adición y sustracción; la interpretación de la multiplicación e identifica figuras planas geométricas esenciales.
e) IV Ciclo (tercero y cuarto Grado) se incide en la adición y sustracción, la multiplicación Se grafican e identifican algunos polígonos. Resuelven problemas que involucran noción de área de algunos polígonos.
f) V Ciclo ( Quinto y sexto grado). A este nivel estudia la potenciación y radicación de números. Polígonos con el aprendizaje del Teorema de Pitágoras y el cálculo de áreas.
En el estudio del teorema de Pitágoras se parte de áreas de cuadrados cuyos lados son los lados del triángulo rectángulo que forman con la finalidad de establecer entre ellas relaciones y no entre las medidas de las longitudes de los lados del triángulo, es decir:
Si construimos cuadrados de lados iguales a los catetos y a la hipotenusa, entonces el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos. En este caso los alumnos identifican las relaciones como:
g) VI Ciclo (Primero y segundo de secundaria)
Se incluyen las propiedades de los números naturales, enteros, racionales y Reales al igual que el estudio de Polinomios y polígonos.
Por ejemplo en este nivel el alumno aprende que . Además dentro del tema de Productos Notables, el alumno empieza a manejar expresiones de la forma:
También se trabajan propiedades con exponentes racionales y se les presentan expresiones como:
h) VII CICLO (Tercero, cuarto y quinto de secundaria). El alumno trabaja con diversas situaciones en las que puede relacionar diversos conceptos.

Como podemos observar existe una articulación de conocimientos que van desde el
Nivel primario (para el ejemplo propuesto) hasta el nivel secundario sin embargo ya
que esta es una propuesta preventiva el docente deberá incluir en las situaciones
de enseñanza que proponga los siguientes aspectos:

¨ Establecer relaciones entre conceptos nuevos y pre-requisitos.
¨ Integrar representaciones: Geométrica y Algebraica.
¨ Establecer diferencias entre dimensiones lineal y superficial.

Acción correctiva del error.

Antes de iniciar una acción correctiva del error debemos tomar en cuenta lo siguiente:
a) Tipificar el error entre los alumnos.
b) Presentarles un análisis situacional, es decir ejercicios que contengan el error para que lo justifiquen en diferentes niveles de complejidad.
c) Provocar la reflexión individual.
d) Permitir que los alumnos manifiesten sus puntos de vista al respecto.
e) Establecer conclusiones para que el alumno identifique el error, lo corrija, y lo prevenga de cometerlo en situaciones iguales.

SECUENCIA DIDÁCTICA

1. Se presenta una situación donde se muestre el error para que el alumno se familiarice con este, la explicación que generalmente los alumnos muestran es:
2. Para la construcción de saberes se les presenta el siguiente ejercicio con el propósito de que justifiquen planteamientos que faltan:


Planteamiento
Fundamentación
1
3 + 4 = 7
Utilización de la Propiedad de Clausura de Números naturales: “La suma de dos números naturales es igual a otro número natural”.
2
Aplicación de las Propiedades de la radicación: Potencia de una raíz.
3


?
4
Por definición de Potenciación
5
?

3. Los alumnos hacen una reflexión individual que le permitirán argumentar su posición, utilizando los conocimientos adquiridos hasta el momento, frente a sus demás compañeros.
4. Se realiza una puesta en discusión con la finalidad de que los alumnos intercambien opiniones. Los alumnos argumentan sus puntos de vista acerca de la situación planteada. El docente realiza preguntas que permitan la consolidación de conceptos.
Los Grupos de trabajo plantean sus conclusiones frente a los demás grupos. Por ejemplo deberán asumir que el planteamiento 5 es falso al igual que el planteamiento 3, que existe una relación entre ambos planteamientos y deberán justificarlo. Asumirán también por ejemplo, que . Y deberán proponer que para resolverse debe calcularse primero siempre lo que hay dentro de la raíz.
2. Para la transferencia, se proponen ejercicios similares en diferentes grados de complejidad.

Los errores son situaciones que los maestros pueden aprovechar para generar aprendizajes significativos sin embargo son situaciones que normalmente no son aprovechadas por los docentes.
Los errores fuera de ser considerados un problema deben ser considerados elementos motivadores.
Nosotros los docentes casi nunca nos tomamos el tiempo para analizar información proveniente de nuestros alumnos y corregir sus errores. El tomarlos como punto de partida debe servirnos de motivación para plantearnos cómo debe ser planificada la enseñanza con el fin de prevenirlos y corregirlos. Motivar a los alumnos hacia la reflexión de las ideas erróneas que manejan debe constituir el inicio de una reflexión hacia conceptos más amplios y concretos, presentando situaciones matemáticas para que sigan perseverando en todo lo que les permita reajustar sus ideas.
Para mi asumir está propuesta constituye un reto, mi papel de facilitador de dicha actividad buscará propiciar el conflicto cognitivo en el alumno para tratar de sustituir los conceptos falsos por la comprensión conceptual adecuada que logre eliminar el error para que no vuelva a aparecer y donde destacará mi creatividad al diseñar nuevas estrategias en el aula, de acuerdo a cada error diagnosticado, a fin de evitar o minimizar el obstáculo.

CONCLUSIONES

1. Los errores son importantes en la adquisición del conocimiento matemático por lo que debe considerársele positivo para el proceso de aprendizaje.
2. Un error es un conocimiento y no debe ser considerado como una falta de dominio.
3. Los errores son indicadores del carácter incompleto de un conocimiento.
4. Los alumnos generalmente usan estos conocimientos en contextos inadecuados generando respuestas incorrectas.
5. Generalmente los alumnos se resisten a las contradicciones que el obstáculo les produce y al establecimiento de un conocimiento adecuado.
6. Muchos alumnos a pesar de haber notado la inexactitud de sus conocimientos continúan manifestándolos de forma esporádica.
7. Es necesario identificar el error, tipificarlo y corregirlo.
8. El motivar la reflexión del error en los alumnos constituye una fuente de aprendizaje significativo en el aprendizaje de los conceptos matemáticos.

RECOMENDACIONES

La utilización del error en un sentido positivo para el aprendizaje es uno de los temas que menos llevamos a la práctica nosotros los maestros por eso hacemos algunas recomendaciones al respecto:
1. Profundizar en la investigación del tema con la finalidad de utilizar resultados que contribuyan con la evolución de la enseñanza matemática
2. Usar el error como punto de partida del aprendizaje.
3. Aceptar el error como un proceso de aprendizaje y como parte esencial de ese proceso.
4. Hacer diagnósticos correctivos para la implementación de estrategias pertinentes a los errores existentes en el aula.
5. Utilizar dicho diagnóstico para tipificar errores e implementar acciones preventivas de los mismos.
6. Incluir en la secuencia didáctica, para la corrección de errores, las discusiones grupales con la finalidad de que los alumnos comparen razonamientos y procedimientos seguidos con otras propuestas.